理论计算机科学（TCS）中的复杂度分析，核心是渐近分析。它不关心程序在某台具体机器上运行了多少毫秒，而关心当输入规模 \(n\) 趋向无穷大时，算法所需资源（时间或空间）的增长量级。 这就像比较两辆车的长途性能：起步时谁快 0.1 秒并不重要，重要的是随着路程增加，谁的速度优势会越来越大。渐近记号就是描述这种“增长趋势”的数学语言。 1. 五大渐近记号：定义、直觉与运算 1.1 五个记号 这些符号本质上是函数的集合。写作 \(f(n)=O(g(n))\) 时，严格含义是 \(f(n)\in O(… 在主页展开

2026年10月，OpenAI宣布其AI模型证伪了“指数时间假设”（ETH），一个统治理论计算机科学近30年的基础性猜想。这个消息之所以震动学界，是因为ETH并非一个孤立的猜想，它是在我们熟悉的P vs NP问题之下，支撑着整个“细粒度复杂度”领域大厦的地基性假设。 ETH的动摇，不意味着P=NP，但它意味着我们过去对“NPC问题到底有多难”的定量认知，可能需要大规模重写。要理解这件事的分量，我们需要从最经典的复杂度地图开始，一步步走到这张地图之下更精细的“地下结构” P, NP, NPC与NP… 在主页展开

如果你在服务器上用一个普通仓库（非裸仓库）作为代码目录，然后在本地直接向它推送当前分支，Git 默认会拒绝： 原因是：远端仓库的当前分支已经被检出到工作区，如果直接更新分支，工作区文件就会和仓库记录不一致。Git 默认选择拒绝，避免把服务器上的工作区搞乱。 但很多个人项目、内网工具或轻量部署场景里，服务器上的代码目录就是运行目录，而且远端不会修改代码。这时我们想要的其实是： 本地推送成功后，远端仓库自动把工作区同步到最新提交。 实现这个效果，只需要在远端仓库里执行一行命令： 这行命令做了什么？ … 在主页展开

一个按钮背后的非遍历性、凯利准则与分散化 1. 问题 考虑如下问题：桌上有一个按钮。按下去之后： 问题：这个按钮应该按吗？ 很多人第一反应是算期望： \[ E[X]=\frac12\times 0.1+\frac12\times 9=4.55>1. \] 期望为正，而且大得离谱，所以“当然按”。 但另一笔账会给出相反答案： \[ E[\log X]=\frac12\log 0.1+\frac12\log 9 =\frac12\log 0.9<0. \] 对数期望为负。 于是有人说：“… 在主页展开

最近看到一篇流传很广的文章，谈”为什么人类近几百年的发展突然加快了”。作者给出的答案是语言：英语法语们甩掉了名词变格、语法大幅简化、语序固定化，于是人脑的解析速度上来了，与现代科学一拍即合，科学技术突飞猛进。文章还顺藤摸瓜列了十几条语法优劣判据——主谓宾优于主宾谓、定语后置优于前置、否定词要靠近动词、双重否定应该禁止…… 为什么人类近几百年的发展突然加快了？ – 徐伟的回答 – 知乎https://www.zhihu.com/question/29… 在主页展开

本文是 OpenAI 722 数学手稿系列之 Family 130 官方论文的中文全文翻译。译自 OpenAI 2026 年 9 月 25 日发布的《An explicit power saving for the exact discrete Fourier transform》（31 页），覆盖论文全部章节：摘要、§1.1 算术模型与主结果、§2–§5（固定网络、Fourier 编译器、张量调度、最终估计）及附录 A（有效合成与均匀编译）。原文见 openai/math 仓库（GitHub）… 在主页展开

本文是 OpenAI 722 数学手稿系列之 Family 109 官方论文的中文全文翻译。译自 OpenAI 2026 年 9 月 23 日发布的《Integer multiplication below n log n》（73 页），覆盖论文全部章节：摘要、定理 1、引言（§1.1–§1.8）、§2 机器模型与基本流、§3 两个带秩节省的有限网络、§4–§8（地址块交换、并行蝶形层、合成变换、多项式乘积、重采样）、§9 精确整数乘法与成本汇总、§10 除法与平方根、§11 矩阵转置推论、附录… 在主页展开

本文是 OpenAI 722 数学手稿系列之 Family 107 官方论文的中文全文翻译。译自 OpenAI 2026 年 10 月 2 日发布的《An Upper Bound of 9/4 for the Matrix Multiplication Exponent》（13 页），覆盖论文全部章节：摘要、引言、第 2–5 节（张量与特征、分离构造、多项式不等式、离散增长与算术指数）、附录 A（检测特征的存在性）。原文见 openai/math 仓库（GitHub）preprints/Matr… 在主页展开

这是 OpenAI 722 篇数学手稿系列的第三篇，也是收官篇。第二篇讲了整数乘法在多带图灵机上打破 \(n\log n\)（FFT 家族复杂度叙事的根基被撼动），本篇讲 FFT 本体：精确离散傅里叶变换（DFT）在无界系数模型里对所有长度低于 \(n\log n\)。 一句话版本：FFT 是整个信息科学里最重要的算法之一，六十年来 \(O(n\log n)\) 被当成它的”身份复杂度”。这篇论文给出一个确定性算法，对每一个变换长度 \(n\) 把成本压到 \(O(n(\… 在主页展开

这是 OpenAI 722 篇数学手稿系列的第二篇，讲三篇”打破复杂度墙”结果里与信号处理血缘最深的一个：整数乘法在多带图灵机上打破 \(n\log n\) 界——直接推翻 Schönhage 与 Strassen 在 1971 年提出、被广泛相信了 55 年的最优性猜想。 为什么说它与信号处理血缘最深？因为整数乘法本质上就是一个 FFT 应用问题：两个 \(n\) 位整数的乘积，是两组系数向量的卷积；而卷积与逐点乘法之间隔着的，正是一个离散 Fourier 变换。所以这… 在主页展开

2026 年 10 月初，OpenAI 一次性公开了 722 篇数学手稿（归为 372 个结果家族），全部产自一个未发布的内部模型。这批成果横跨几何、数论、调和分析、理论计算机科学等 17 个方向，其中最让算法圈炸锅的，是三个”打破复杂度墙”的结果：矩阵乘法指数、整数乘法、离散傅里叶变换。本文是三篇系列的第一篇，讲与 GEMM 直接相关的那一个：矩阵乘法指数被降到 9/4。 一句话版本：自 Coppersmith–Winograd 1987 年以来，全世界的算法学家花了近… 在主页展开