本文是 OpenAI 722 数学手稿系列之 Family 107 官方论文的中文全文翻译。译自 OpenAI 2026 年 10 月 2 日发布的《An Upper Bound of 9/4 for the Matrix Multiplication Exponent》（13 页），覆盖论文全部章节：摘要、引言、第 2–5 节（张量与特征、分离构造、多项式不等式、离散增长与算术指数）、附录 A（检测特征的存在性）。原文见 openai/math 仓库（GitHub）preprints/Matrix-Multiplication-Nine-Fourths-October-2-2026/paper.pdf。本站配套科普解析见《OpenAI 722 手稿解读（一）：矩阵乘法指数 9/4》（文章 ID 4816）。

矩阵乘法指数的一个 9/4 上界

摘要：我们证明复数域上矩阵乘法的指数至多为 9/4。

1 引言

复数域上矩阵乘法的指数 \(\omega\)，是满足如下条件的实数 \(\tau\) 的下确界：对每个 \(\varepsilon>0\)，两个 \(n\times n\) 矩阵可以在 \(O_\varepsilon(n^{\tau+\varepsilon})\) 次标量算术运算内完成相乘。维数 \(n\) 趋于无穷；算法及其常数可以依赖于 \(\varepsilon\)。我们证明以下界。

定理 1.1。对每个 \(\varepsilon>0\)，两个 \(n\times n\) 复矩阵可以用 \(O_\varepsilon(n^{9/4+\varepsilon})\) 次算术运算相乘。特别地，\(\omega\le 9/4\)。

Strassen 针对二阶矩阵的七乘积算法表明，递归可以把算术指数降到三以下 [13]。双线性算法可以表示为三线性系数阵列，即张量；线性替换与张量积随之表达了归约与递归复合。近似双线性算法扩大了可用构造的范围，而 Bini 的插值论证把它们转化为精确的渐近算法 [3]。Schönhage 的渐近和不等式把独立矩阵乘积的高效同时计算转化为指数的界 [11]。Strassen 的激光方法从张量幂中提取此类独立乘积 [14, 15]。他的渐近谱理论通过一组与求和、乘积和限制相容的数值不变量来刻画渐近张量比较 [16, 4]。

Coppersmith 与 Winograd 将张量幂与无进度集合结合，从一个辅助形式中提取独立乘积 [5]。Stothers [12] 与 Davie–Stothers [6]、Vassilevska Williams [18] 以及 Le Gall [10] 发展了这一构造的高次幂分析，其中 Le Gall 将其表述为凸优化。Alman 与 Vassilevska Williams 精化了独立分量的提取 [2]。Duan、Wu 与 Zhou 分析了跨递归层组合分量造成的损失 [7]。Vassilevska Williams、Xu、Xu、Zhou 以及 Alman 等人的进一步非对称分析改进了最终界 [19, 1]。Dupont 等人通过优化这一组合损失框架报告了 \(\omega<2.371177\) [8]。

本证明将显式张量退化与谱观点相结合。它先为多项式乘法上的特征值导出不等式，再用其离散增长来限制矩阵乘法上的取值。插值、按指定频率计数单词、以及张量腿的平衡，沿袭了早期张量幂方法中的角色。这里的中心有限构造分离出在三条腿中的两条上已经拥有独立变量的块。定理 1.1 关乎渐近算术指数；其证明不指定有竞争力的有限矩阵尺寸。

分离与多项式乘法。三线性形式的三组变量称为腿（legs）。张量构造中的一个基本困难是：有用的块可能共享变量。完全直和要求三条张量腿上的变量全部独立。我们的主要构造从在两条腿上独立、共享第三条腿的块出发。一个有限 Fourier 投影在共享腿上给出一个暂定的块标签，而一个总权为标签失配平方的退化恰好保留下正确的标签。所得的独立块各自携带一个辅助点积。输出块的数量在指数尺度上补偿了 Fourier 副本的代价。命题 3.1 与推论 3.2 对任意具有这种块结构的张量给出该构造及其熵推论。

我们把分离不等式应用于普通多项式乘法。一个行列式过滤（determinant filtration）比较相邻的输入次数，而一个三扇区分解比较一个输入长度与约三倍于它的长度。行列式过滤被每个乘法映射保持，因此一组基与权的选择同时适用于所有第一输入切片。

通往指数的路线。我们使用 Strassen 的谱观点 [16, 4]：张量特征（tensor character）是归一化的数值不变量，在直和上可加、在张量积上可乘、在限制下单调。检测特征的结果（引理 2.2）使得只需对每个特征限制矩阵乘法上的这些不变量即可。每个特征在矩阵乘法上取值 \(n^{3t}\)，其中 \(t\) 为正参数。系数向量长度为 \(a\)、\(b\) 的多项式相乘，输出向量长度为 \(a+b-1\)。我们用该张量在腿的全部六种置换下特征值的归一化几何平均来度量它。得到的剖面 \(P(a,b)\) 在两个输入长度上为正且对称。多项式插值给出 \(P(a,b)\le(a+b-1)^{1/t}\)。上述两个构造表明其逐次增量在两个输入长度上都不增，且

\[ P(a,\,3h+a-1)\ \ge\ 3P(a,h). \]

与 \(P(1,b)=b\) 一起，这些性质强制 \(P(a,a)\ge a^{4/3}\)。比较两个增长率得 \(t\le 3/4\)，从而 \(3t\le 9/4\)。

第 2 节引入特征框架并陈述所需的特征存在性结果。第 3 节证明分离不等式，第 4 节导出两条多项式不等式。第 5 节证明离散增长估计并完成算术论证。附录 A 给出本文所用特征存在性结果的完整证明。

2 张量及其特征

我们首先描述将应用各构造的数值不变量。全文中，张量是 \(\mathbb{C}\) 上的有限三线性形式，其三组变量称为 X-、Y-、Z-腿。限制（restriction）指对每条腿独立地做线性替换。若 \(B\) 是 \(A\) 的限制，记 \(A\ge B\)。

张量积把系数阵列相乘、并把每条腿上相应的变量指标配对。设 \(\mathcal{S}\) 为张量按互为限制分类后的集合。完全直和与张量积使 \(\mathcal{S}\) 成为交换半环，限制诱导一个与两个运算相容的序。乘积用并置或 \(\otimes\) 表示。零张量为 0，标量张量 \(xyz\) 为 1，整数 \(m\ge 0\) 表示 1 的 \(m\) 份直和。于是在完全直和中，各求和项在三条腿上拥有互不相交的变量。

秩是单调、次可加、次可乘的。我们不假设其可加性。腿平坦化（leg flattening）是把该腿放到另外两腿对面得到的矩阵；其矩阵秩在限制下单调、在完全直和上可加、在张量积上可乘。

编码 \(n\times n\) 矩阵乘法的三线性形式及其精确秩指数为

\[ T_n=\sum_{i,j,k=1}^{n}x_{ij}y_{jk}z_{ki},\qquad \nu=\inf_{n\ge 2}\log_n R(T_n). \tag{2.2} \]

重指标化把 \(T_nT_m\) 等同于 \(T_{nm}\)。平坦化与上述展开给出 \(n^2\le R(T_n)\le n^3\)，故 \(2\le\nu\le 3\) 且 \(R(T_n)\ge n^\nu\)。证明的最后我们把 \(\nu\) 上的界转换为所述的算术界。

定义 2.1。张量特征是一个可加、可乘、限制单调的映射 \(\lambda:\mathcal{S}\to\mathbb{R}_{\ge0}\)，满足 \(\lambda(1)=1\)。

每条腿的平坦化秩的对数，除以 \(\log R(T_n)=3\log n\) 后取指数再正规化，就是一个例子。X-腿点积 \(B_X(m)\) 是限制在 \(B_X(m)\) 上的对角三线性形式。固定一个特征 \(\lambda\)，其首腿点积指数是

\[ p_X=\sup_m \frac{\log\lambda(B_X(m))}{\log m}. \]

点积张量的幂 \(B_X(m)^j\) 是 \(B_X(m^j)\)。定义中的上确界是极限，\(p_Y,p_Z\) 同理。三条腿的这三个指数都不超过 1。

对角张量的积 \(B_X(m)B_Y(m)B_Z(m)\) 的变量为 \(x_{bc},y_{ac},z_{ab}\)、单项式为 \(x_{bc}y_{ac}z_{ab}\)，故它同构于 \(T_m\)。于是

\[ \lambda(T_m)=m^{p_X+p_Y+p_Z}. \tag{2.4} \]

把 \(T_m\) 的非对角变量全部置零留下 \(m\) 个独立的标量积，故 \(T_m\ge m\)，从而 \(p_X+p_Y+p_Z\ge 1\)。特别地，下文使用的参数 \(t=(p_X+p_Y+p_Z)/3\) 总是正的。

2.2 退化与插值

我们只使用退化（degeneration）的如下初等形式。在固定线性替换之后，给每个变量一个整数的权，把它乘以参数 \(\varepsilon\) 的相应幂，然后保留总权最小的项。若此程序把 \(A\) 变为 \(B\)，记 \(A\rightsquigarrow B\)，约定 \(0\rightsquigarrow 0\)。单个变量的权可以是负的。把最小总权移到零后，所得张量是 \(\varepsilon\) 的多项式、常数项为 \(B\)。

引理 2.3（插值）。若 \(A\rightsquigarrow B\)，则对每个张量特征 \(\lambda\) 有 \(\lambda(A)\ge\lambda(B)\)。

证明。这是从近似双线性算法到精确算法的插值通道 [3] 施加于特征。设 \(F(\varepsilon)=B+\varepsilon F_1+\cdots+\varepsilon^L F_L\) 是变换后的张量。对每个非零 \(\varepsilon\)，它是 \(A\) 的限制。多项式 \(F(\varepsilon)^{\otimes j}\) 的次数至多 \(jL\)、常数项为 \(B^{\otimes j}\)。在 \(jL+1\) 个互异非零点上的插值把这个常数项写成若干特化的线性组合。公共空间上线性组合的张量是它们的完全直和的限制：把相应变量等同、把每个标量系数吸收进某一条腿。于是

\[ \lambda(B)^j\le(jL+1)\lambda(A)^j. \]

取 \(j\) 次根并令 \(j\to\infty\) 即证。退化与随之的 \(L\) 在此极限中固定。□

引理 2.2（检测特征）。设 \(d\ge2\) 与 \(0\le k<d^\nu\) 为整数。存在一个特征 \(\lambda\) 满足 \(\lambda(T_d)\ge k\)。

附录 A 给出证明。证明用 Schauder–Tychonoff 不动点定理构造一个乘性态，使其满足族 \(\lambda(T_ds)\ge k\lambda(s)\)（对所有 \(s\in\mathcal{S}\)）；取 \(s=1\) 即得引理。

3 分离共享的张量腿

设块共享其首腿，而另外两腿的每一条决定同一个块标签。以下构造使这些块完全独立。其辅助因子保留在输出中并将提供熵增益。

命题 3.1（有限分离）。设 \(M\ge1\) 且

\[ A=\sum_{h=1}^{M}A_h,\qquad A_h\in X\otimes Y_h\otimes Z_h, \]

其中各 \(Y_h\) 是互不相交的坐标空间，各 \(Z_h\) 亦然。不匹配的第二、三腿扇区之间没有项。则

\[ A^{\oplus 5M}\ \rightsquigarrow\ \bigoplus_{h=1}^{M}A_h\otimes B_X(M). \tag{3.1} \]

右边的每个 \(A_h\) 有自己的 \(X\) 的拷贝。

证明。选取公共的首腿基 \(x_a\) 与扇区基 \(y_{h,b},z_{h,c}\)，写

\[ A=\sum_{h,a,b,c}c_{h,a,b,c}\,x_a y_{h,b}z_{h,c}. \]

内部指标范围可以依赖于 \(h\)。取 \(L=5M\)，取 \(L\) 次本原单位根 \(\zeta\)。用 \(r=0,\dots,L-1\) 标记 \(L\) 份源拷贝。引入目标变量 \(X_{a,g},Y_{h,b,u},Z_{h,c,v}\)，其中 \(g,u,v\in\{1,\dots,M\}\)：指标 \(g\) 是暂定扇区标签；\(u,v\) 将提供保留的点积。做替换

\[ x_a^{(r)}\mapsto\sum_{g=1}^{M}\zeta^{2rg}X_{a,g}\] \[y_{h,b}^{(r)}\mapsto\sum_{u=1}^{M}\zeta^{r(u-h)}Y_{h,b,u} \] \[ z_{h,c}^{(r)}\mapsto\frac{1}{L}\sum_{v=1}^{M}\zeta^{r(-v-h)}Z_{h,c,v}. \]

对 \(L\) 份拷贝求和后，每个目标系数带一个几何级数因子 \(\frac{1}{L}\sum_{r}\zeta^{r(\cdot)}\)，它在指数模 \(L\) 为零时等于 1、否则为 0。由于 \(L=5M\) 大于所有涉及指标的绝对值之和，同余就是相等，幸存项精确满足 \(u-v+2(g-h)=0\)。

现在给变量加权

\[ w(X_{a,g})=g^2,\qquad w(Y_{h,b,u})=hu-h^2,\qquad w(Z_{h,c,v})=-hv. \]

在每条幸存项上，总权为 \(g^2+hu-h^2-hv=(g-h)^2\ge 0\)。保留总权为零的项：不等式强制 \(g=h\)，即暂定标签等于真实扇区；剩余自由度 \(u=v\) 恰好在每块的首腿上留下 \(M\) 维点积 \(B_X(M)\)。于是右边恰为 (3.1) 中的完全直和。变换后的张量的次数至多 \((M-1)^2\)，尽管某些单变量权为负。

(3.1) 中的源共使用 \(5M\) 份拷贝。输出有 \(M\) 个完全直和块，每块带一个 \(M\) 维点积。这是两个不同的重数：点积指标不标记额外的完全直和块。□

推论 3.2（共享腿熵不等式）。设 \(T=\sum_{i=1}^{s}T_i\) 为非零张量之和，具有公共首空间与匹配的、两两不相交的其余两腿扇区，如命题 3.1 中那样。则对每个张量特征 \(\lambda\) 与每个概率向量 \(q=(q_1,\dots,q_s)\)，有

\[ \lambda(T)\ \ge\ e^{p_X H(q)}\prod_{i=1}^{s}\lambda(T_i)^{q_i},\qquad H(q)=-\sum_{i=1}^{s}q_i\log q_i. \tag{3.3} \]

这里对数为自然对数，且 \(0\log 0=0\)。

证明。我们使用张量幂论证中熟悉的按固定频率计数（参见 [10] 完整版的附录 A）。命题 3.1 把给定频率的单词数变成 (3.3) 中的熵因子。先取有理数 \(q\) 并让 \(N\) 跑遍一个公共分母的倍数。在 \(T^{\otimes N}\) 的第二、三腿上，只保留扇区 \(i\) 出现 \(Nq_i\) 次的单词。每个支撑项在这两腿上有相同的扇区单词。保留的张量 \(A\) 有

\[ M=\frac{N!}{\prod_i(Nq_i)!} \]

个匹配扇区，且首腿仍共享。每个扇区是指定的 \(T_i\) 的一个积（至多重排因子），分离适用于 \(A\)。对整数权选取适当的移位并取零权切片后，\(A^{\oplus 5M}\) 退化为 \(\bigoplus_i T_i^{\otimes Nq_i}\otimes B_X(M)\) 型的完全直和。对 \(B_X(M)\) 的首腿平坦化秩赋权并取 \(N\) 次根，由 Stirling 公式 \(M\sim e^{NH(q)}\) 与引理 2.3 即得 (3.3)。有理逼近把它推广到全部 \(q\)。□

4 多项式乘法的两条不等式

我们现在把共享腿不等式应用于一个具有简单秩界的族。对正整数 \(a,b\)，令

\[ C(a,b)=\sum_{i=0}^{a-1}\sum_{j=0}^{b-1}x_i y_j z_{i+j}. \tag{4.1} \]

这是次数为 \(a-1\) 与 \(b-1\) 的齐次二元形式（homogeneous binary forms）的乘法，与输出空间的对偶配对。在 \(a+b-1\) 个互异点上求值再插值给出 \(R(C(a,b))\le a+b-1\)。其输出平坦化有秩 \(a+b-1\)（每个输出单项式都是输入单项式的积），故

\[ R(C(a,b))=a+b-1. \tag{4.2} \]

固定一个特征 \(\lambda\)，取 \(t=(p_X+p_Y+p_Z)/3>0\)，以 \(\lambda_\pi(A)\) 表示把 \(A\) 的腿用置换 \(\pi\in S_3\) 重排后 \(\lambda\) 的取值。每个 \(\lambda_\pi\) 仍是特征；记其首腿点积指数为 \(p_X^{(\pi)}\)。三个原始指数各出现两次，故

\[ \sum_{\pi\in S_3}p_X^{(\pi)}=2(p_X+p_Y+p_Z)=6t. \tag{4.3} \]

对置换腿的乘积是张量幂分析中的标准平衡装置 [10]。这里全部六个置换使剖面对下述腿交换不敏感。定义对称化剖面

\[ P(a,b)=\Big(\prod_{\pi\in S_3}\lambda_\pi\big(C(a,b)\big)\Big)^{1/(6t)}. \tag{4.4} \]

交换两个输入腿只重排乘积中的因子；又 \(C(1,b)=B_X(b)\)。与 (4.2)、(4.3) 一起，这些观察给出

\[ P(a,b)=P(b,a)>0,\qquad P(1,b)=b,\qquad P(a,b)\le(a+b-1)^{1/t}. \tag{4.5} \]

下面两个引理给出迫使 \(P\) 的对角值增长的额外约束。

4.1 一个行列式过滤

我们通过与 \(B_X(2)\) 做张量积——它把第二输入与输出空间加倍——并在适当的商空间与核空间上保留诱导的乘法，来得到相邻的输入长度。过滤必须被每个第一输入的乘法保持，这样得到的比较才是整个张量的退化。

引理 4.1（离散凹性）。对 \(a\ge1\) 与 \(b\ge2\)，

\[ 2P(a,b)\ \ge\ P(a,b+1)+P(a,b-1). \tag{4.6} \]

由对称性，类似不等式对第一个自变量成立。

证明。设 \(V_e\) 为 \(u,v\) 的 \(e\) 次齐次形式空间，并对另一对变量设 \(W_1=\mathrm{span}(s,w)\)。张量 \(C(a,b)\otimes B_X(2)\) 表示乘法

\[ V_{a-1}\times(V_{b-1}\otimes W_1)\longrightarrow V_{a+b-2}\otimes W_1. \]

取 \(D=uw-vs\)。对 \(e\ge1\)，对角替换 \((s,w)=(u,v)\) 给出正合列

\[ 0\longrightarrow DV_{e-1}\longrightarrow V_e\otimes W_1\longrightarrow V_{e+1}\longrightarrow0. \tag{4.7} \]

最后一个映射在单项式上满。它的核包含 \(DV_{e-1}\)；乘以 \(D\) 是单射，且核与 \(V_{e-1}\) 的维数都是 \(e\)，正合性得证。这是次数一 Clebsch–Gordan 构造之下的行列式正合列 [9]。我们接着验证张量退化所需的、与全部乘法映射的相容性。

选取商提升 \(u^{e-i}v^is\)（\(0\le i\le e\)），随后 \(v^ew\)，再接上核基 \(Du^{e-1-j}v^j\)（\(0\le j<e\)）。它们的对角像与核因子都是标准单项式基。在次数 \(b-1\) 与 \(a+b-2\) 上使用这些基。对每个 \(f\in V_{a-1}\)，乘法与对角替换交换且把 \(Dg\) 送往 \(D(fg)\)。于是每个切片在这些固定基下形如

\[ \begin{array}{c|cc} & \text{输入商} & \text{输入核}\\\hline \text{输出商} & M_f^+ & 0\\ \text{输出核} & * & M_f^- \end{array} \tag{4.8} \]

这里 \(M_f^+\) 是乘法 \(V_b\to V_{a+b-1}\)，\(M_f^-\) 是乘法 \(V_{b-2}\to V_{a+b-3}\)。特别地，两个对角张量块恰是 \(C(a,b+1)\) 与 \(C(a,b-1)\)。

给首腿与全部商坐标赋零权，给第二腿核坐标赋权 \(-1\)，给输出对偶的核坐标赋权 \(+1\)。(4.8) 中唯一可能为负的块是零；标 \( * \) 的块权为 \(+1\) 而消失。权零张量因此由 \(C(a,b+1)\) 与 \(C(a,b-1)\) 组成，二者共享首腿、第二三腿互不相交。对 \(a=b=2\) 的例子：恒等式 \(u(vw)=v^2s+vD\) 表明乘法切片的这一分解。由推论 3.2（六个置换相乘、取 \(1/(6t)\) 次幂，并用 (4.3)）得 (4.6)。□

4.2 三个扇区

引理 4.2（平移三倍）。对全部正整数 \(a,h\)，

\[ P(a,\,3h+a-1)\ \ge\ 3P(a,h). \tag{4.9} \]

证明。取 \(B=3h+a-1\)。\(C(a,B)\) 的一个支撑项有指标 \(0\le x<a\)、\(0\le y<B\)、\(z=x+y\)。把 Y-指标与 Z-指标分区如下：

\[ \begin{array}{c|ccc} & \text{左} & \text{中} & \text{右}\\\hline Y & [0,\,h-1] & [h,\,2h+a-2] & [2h+a-1,\,3h+a-2]\\ Z & [0,\,h+a-2] & [h+a-1,\,2h+a-2] & [2h+a-1,\,3h+2a-3] \end{array} \]

给中间 Y-坐标赋权 \(+1\)，中间 Z-坐标赋权 \(-1\)，其余坐标赋零。左 Y-指标强制左 Z-指标（因为 \(x+y\le h+a-2\)）；右 Y-指标强制右 Z-指标。于是没有支撑项有负权。权零部分恰由三个匹配扇区组成。原文图 1 给出了最小的非平凡例子。

平移把两个外侧分支等同于 \(C=C(a,h)\)。中间分支是

\[ \sum_{u=0}^{a-1}\sum_{r=0}^{h-1}x_{a-1-u}y_{h+u+r}z_{h+a-1+r}, \]

它是交换了第二、三腿且反转首腿基的 \(C\)。该反转只辨认这个单独分支；对整个张量的三个分支不施加不同的首腿映射。

取 \(\sigma\) 为交换第二、三腿。三分支上的均匀概率向量给出（在每个 \(\lambda_\pi\) 下）

\[ \lambda_\pi\big(C(a,B)\big)\ \ge\ 3\,p_X^{(\pi)}\,\lambda_\pi(C)^{2/3}\lambda_\pi(C^\sigma)^{1/3}. \]

与 \(\sigma\) 复合把六个腿置换重新排列，故 \(\prod_\pi\lambda_\pi(C^\sigma)=\prod_\pi\lambda_\pi(C)\)。把六个不等式相乘并取 \(1/(6t)\) 次幂，即证 (4.9)。□

5 离散增长与算术指数

张量构造至此完成。下述引理把剖面的凹性与平移三倍转化为沿对角线的增长。

引理 5.1（对角增长）。设 \(P:\mathbb{N}_{>0}^2\to\mathbb{R}_{>0}\) 对称，\(P(1,b)=b\)。设它对 \(a\ge1,b\ge2\) 满足 (4.6)，对 \(a,h\ge1\) 满足 (4.9)。则对每个 \(a\ge1\) 有 \(P(a,a)\ge a^{4/3}\)。

证明。固定 \(a\)，凹性使增量 \(\Delta_{a,h}=P(a,h+1)-P(a,h)\) 在 \(h\) 上不增。取 \(D_a=P(a,a)\) 与 \(H_a=2D_a/(3a-1)\)。在 \(h=a\) 处用三倍化：

\[ 2D_a\le P(a,4a-1)-D_a=\sum_{h=a}^{4a-2}\Delta_{a,h}\le(3a-1)\Delta_{a,a}, \]

故 \(\Delta_{a,a}\ge H_a\)。对 \(a\ge2\)，对称性与凹性限制相邻对角值之间的两个增量：

\[ D_a-D_{a-1}=\Delta_{a-1,a-1}+\Delta_{a,a-1}\ \ge\ H_{a-1}+H_a. \tag{5.1} \]

代入 \(D_a=(3a-1)H_a/2\)、重排并从 \(H_1=1\) 起迭代，得

\[ H_a\ \ge\ \Big(1+\frac{1}{3(a-1)}\Big)H_{a-1}\qquad(a\ge2), \]

从而

\[ H_a\ \ge\ \prod_{m=1}^{a-1}\Big(1+\frac{1}{3m}\Big)\qquad(a\ge1). \]

\(a=1\) 时空积等于 1。对 \(m\ge1\)，初等不等式 \((1+\tfrac{1}{3m})^3\ge1+\tfrac{1}{m}\) 给出

\[ H_a^{\,3}\ \ge\ \prod_{m=1}^{a-1}\Big(1+\frac{1}{3m}\Big)^{3}\ \ge\ \prod_{m=1}^{a-1}\Big(1+\frac{1}{m}\Big)=a. \]

因为 \((3a-1)/2\ge a\)，得 \(D_a\ge aH_a\ge a^{4/3}\)。□

定理 1.1 的证明。对每个特征，剖面 (4.4) 满足引理 5.1 的全部假设。把它与 (4.5) 结合得

\[ a^{4/3}\le P(a,a)\le(2a-1)^{1/t}. \]

令 \(a\to\infty\) 迫使 \(t\le 3/4\)。于是 (2.4) 给出 \(\lambda(T_d)\le d^{9/4}\) 对每个特征成立。对每个整数 \(d\ge2\)，取 \(k_d=\lceil d^\nu\rceil-1\)，则 \(d^\nu-1\le k_d<d^\nu\)，引理 2.2 给出一个特征满足 \(\lambda(T_d)\ge k_d\)。于是

\[ d^\nu\le d^{9/4}+1. \]

取对数并令 \(d\to\infty\) 得 \(\nu\le 9/4\)。检测特征可以依赖于 \(d\)；上界对每个特征一致成立。

要得到算术算法，固定 \(\varepsilon>0\) 并取 \(0<\delta<\varepsilon\)。\(\nu\) 的定义给出一个固定整数 \(u\ge2\) 与长度 \(r<u^{9/4+\delta}\) 的 \(T_u\) 精确秩分解。它的双线性恒等式在矩阵块上仍成立：系数是中心标量，且每个乘积的左输入块在右输入块之前。对 \(u\) 的幂 \(N\)，递归应用的成本为

\[ S(N)\le r\,S(N/u)+C_{u,r}\,(N/u)^2. \]

平坦化给出 \(r\ge u^2\)。求和解得 \(S(N)=O(N^{\log_u r})=O(N^{9/4+\varepsilon})\)。一般的 \(n\) 填充到下一个 \(u\) 的幂，常数因子被吸收。注 5.2：系数可以取自一个数域——有理系数的方程组若有复解，由 Nullstellensatz 也有代数解。□

附录 A 检测特征的存在性

我们在渐近谱框架 [16, 4] 内直接证明引理 2.2。一个态（state）是归一化、可加、限制单调的映射 \(\mathcal{S}\to\mathbb{R}_{\ge0}\)。每个态满足 \(0\le\lambda(s)\le R(s)\)，且对 \(s\ne0\) 有 \(\lambda(s)\ge1\)。特征是乘性的态。

固定整数 \(d\ge2\) 与 \(k\ge0\)、\(k<d^\nu\)。为得到满足 \(\lambda(T_d)\ge k\) 的特征，我们构造满足更强不等式族

\[ \lambda(T_d s)\ \ge\ k\,\lambda(s)\qquad(s\in\mathcal{S}) \tag{A.1} \]

的态。这个族在归一化张量乘法下不变：对任何非零 \(z\)，把 \(\lambda(x)\) 换成 \(\lambda(zx)/\lambda(z)\) 保持每条不等式（把 (A.1) 应用到 \(zs\) 即可）。下述引理解释这一不变性为何在态的非空紧凸族中产生乘性。

A.1 冻结映射的不动点

引理 A.1。设 \(K\) 是态的非空紧凸集，\(P_z(\lambda)=\lambda(zx)/\lambda(z)\)（\(z\ne0\)）是冻结局部的归一化乘法。若 \(P_z\) 保持 \(K\)，则 \(K\) 有一个点在所有这些 \(P_z\) 下同时不动。

证明。取 \(c=\sup\{\lambda(z):\lambda\in K\}\)。子集

\[ K’=\{\lambda\in K:\lambda(zx)=c\lambda(x)\ \text{对每个 } x\in\mathcal{S}\} \]

非空且紧。因为 \(c\) 固定，其定义方程对 \(\lambda\) 线性，故凸。取 \(x=1\) 得 \(\lambda(z)=c\) 在 \(K’\) 上恒成立，故其全部成员被 \(P_z\) 固定。进而每个 \(P_w\)（\(w\ne0\)）保持它：

\[ (P_w\lambda)(zx)=\frac{\lambda(zwx)}{\lambda(w)}=c\,\frac{\lambda(wx)}{\lambda(w)}=c\,(P_w\lambda)(x). \]

构造可以在 \(K’\) 中重复、保留全部先前冻结的方程。由归纳，原映射 \(P_z\) 的每个有限族在 \(K\) 中有公共不动点。它们的不动集是闭的，故紧性与有限交性质给出全部非零 \(z\) 的公共不动点。它满足 \(\lambda(zx)=\lambda(z)\lambda(x)\)（\(z\ne0\)）。可加性给出 \(\lambda(0)=0\)，这处理了乘以零。□

A.2 构造检测态空间

引理 2.2 的证明。对固定的整数 \(d,k\)，设 \(K\) 是 \(\prod_{s\in\mathcal{S}}[0,R(s)]\) 中由归一化、可加性、单调性与 (A.1) 定义的子集。这些条件是闭的仿射等式与不等式。乘积是紧的，故 \(K\) 紧且凸。须先证它非空。

设其为空。紧性给出定义条件的一个有限不一致子系统。设 \(E\subset\mathcal{S}\) 包含此子系统出现的每个坐标，连同 0 与 1。加入 \(\lambda(0)=0\)、\(\lambda(1)=1\)，把每个坐标界齐次地写成

\[ \lambda(s)\ge0,\qquad R(s)\lambda(1)-\lambda(s)\ge0\qquad(s\in E). \]

所得有限系统仍不一致。

设 \(e_s\)（\(s\in E\)）为 \(\mathbb{R}^E\) 的坐标向量。商掉所选可加关系张成的子空间后，有限分离定理给出一个正的整系数线性泛函——它把 \(-m[1]\) 写成 \([R(s)]-[s]\) 型与 \([T_ds]-k[s]\) 型生成元的非负组合。直和把普通序差组合成 \(y\ge x\) 的 \([y]-[x]\)；分配律把特殊差组合成某个 \(s\) 的 \([T_ds]-k[s]\)。我们得到

\[ -m[1]=[y]-[x]+[T_ds]-k[s],\qquad y\ge x. \]

群中的相等意味着加上 \(\mathcal{S}\) 的一个公共元素后相等。于是存在 \(c\in\mathcal{S}\) 使

\[ m+y+T_ds+c=x+ks+c. \]

取 \(D=y+c\)。由 \(y\ge x\) 得催化比较

\[ D+ks\ \ge\ D+m+T_ds. \tag{A.2} \]

这里 \(s\ne0\)：否则 \(D\ge D+m\)，与任何平坦化秩的可加性与单调性矛盾。

排除障碍。张量 \(D\) 是一个固定的可加开销。重复使用 (A.2) 把 \(nk\) 份 \(s\) 换成 \(n\) 份 \(T_ds\)、只为 \(D\) 付一次费。我们证明这与 \(\nu\) 的定义矛盾。可加迭代给出，对每个整数 \(n\ge1\)：

\[ D+nks\ \ge\ D+nm+nT_ds\ \ge\ nT_ds. \]

由 \(s\ge1\)，有 \(R(D)s\ge R(D)\ge D\)。取 \(K=nk+R(D)\)，得

\[ Ks\ \ge\ nT_ds,\qquad K^j s\ \ge\ n^j T_d^{\,j}s\qquad(j\ge1). \tag{A.3} \]

归纳：把第 \(j\) 个比较乘以 \(K\)、再用 \(Ks\ge nT_ds\)：

\[ K^{j+1}s\ \ge\ n^j T_d^{\,j}(Ks)\ \ge\ n^{j+1}T_d^{\,j+1}s. \]

这保持单份因子 \(s\) 且不需要消去。且 \(K>0\)。

我们接着用 \(n^j\) 份标量拷贝获得第二个矩阵乘法因子。其矩阵维数将乘上 \(d^j\)，而辅助张量 \(s\) 仍只出现一次。固定 \(n\) 与 \(\delta>0\)。由 \(\nu\) 的定义，取固定整数 \(u\ge2\) 满足 \(R(T_u)\le u^{\nu+\delta}\)，并取

\[ \ell_j=\Big\lfloor\frac{j\log_u n}{\nu+\delta}\Big\rfloor,\qquad g_j=u^{\ell_j}. \]

次可乘性给出

\[ R(T_{g_j})\le R(T_u)^{\ell_j}\le u^{(\nu+\delta)\ell_j}\le n^j. \]

于是对角张量 \(n^j\) 限制出 \(T_{g_j}\)。把这个限制乘到 \(T_d^{\,j}s\) 上、并用 \(s\ge1\)，得

\[ K^j s\ \ge\ n^j T_d^{\,j}s\ \ge\ T_{d^{\,j}g_j}s\ \ge\ T_{d^{\,j}g_j}. \]

\(K^j\) 份 \(s\) 的直和的秩至多 \(K^jR(s)\)。故

\[ R(s)K^j\ \ge\ R\big(T_{d^{\,j}g_j}\big)\ \ge\ (d^{\,j}g_j)^{\nu}. \]

先固定 \(n,\delta,u\) 令 \(j\to\infty\)。由 \(g_j^{1/j}\to n^{1/(\nu+\delta)}\)，取 \(j\) 次根得

\[ nk+R(D)\ \ge\ d^\nu n^{\nu/(\nu+\delta)}. \]

固定 \(n\) 令 \(\delta\downarrow0\)，\(u\) 的选择从不等式中消失，得 \(nk+R(D)\ge nd^\nu\)。最后除以 \(n\) 并令 \(n\to\infty\)。催化剂 \(D\) 固定，故 \(k\ge d^\nu\)，矛盾。于是 \(K\) 非空。

完成构造。对非零 \(z\)，引理 A.1 的映射 \(P_z\) 保持归一化、可加性与单调性。它保持 (A.1)，因为

\[ (P_z\lambda)(T_ds)=\frac{\lambda(T_dzs)}{\lambda(z)}\ \ge\ k\,\frac{\lambda(zs)}{\lambda(z)}=k(P_z\lambda)(s). \]

其坐标界来自 \(zx\le R(x)z\)。引理 A.1 给出 \(K\) 中的乘性态，即特征。取 \(s=1\)（于 (A.1)）得 \(\lambda(T_d)\ge k\)。□

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参考文献（择要，完整文献表见原文）：[1] Alman, Duan, Vassilevska Williams, Xu, Xu, Zhou，More asymmetry yields faster matrix multiplication，SODA 2025。[2] Alman–Vassilevska Williams，A refined laser method and faster matrix multiplication，TheoretiCS 3 (2024)。[3] Bini，Relations between exact and approximate bilinear algorithms，Calcolo 17 (1980)。[5] Coppersmith–Winograd，见原文。[6] Davie–Stothers。[7] Duan–Wu–Zhou。[8] Dupont 等，Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve，arXiv:2608.16884。[10] Le Gall。[13] Strassen 1969。[14][15] Strassen 激光方法。[16] Strassen 渐近谱。[18] Vassilevska Williams。[19] Williams, Xu, Xu, Zhou。

译注：本文是 722 手稿中形式化程度最高的结果之一——Lean 形式化覆盖复数域 \(\omega\le 9/4\)、对偶指数 \(\alpha>0.465\)、矩形界与所有域上的 \(\omega<2.371054886006746\)，官方说明注明”无数值不等式留作假设”。译文保留原文引用编号与公式编号；个别长句为中文可读性做了拆分，未改变数学内容。