[工程数学] 傅里叶变换/拉普拉斯变换性质/知识点

注意: 由于是直接复制知乎的内容过来, 公式什么的都是直接调用的接口, 我也不保证什么时候链接挂了就无了. 还有就是注释的内容链接还是知乎的, 点击跳转可能有问题. 请留意.

适用范围: 高等数学, 工程数学, 积分变换, 信号与系统, 自动控制原理, 数字信号处理, 通信原理等.

同时包含了阶跃函数和冲激函数的介绍, 卷积的简述. 以及因式分解有理分式的方法.

注意: 因为信号与系统经常处理电路问题, 电流一般使用字母 $i$ 表示, 为了避免混淆, 工程上使用 $j$ 代替虚数单位. 也就是 $\sqrt{-1}=j$ .

0. 前行知识点

微积分就不说了. 默认大家都有基本的高等数学素养, 包括微积分和复变函数, 积分变换知识点. 并且比较熟练. 复变函数相关可以参考我的文章:

NGC13009：[数学] 复变函数复习笔记20 赞同 · 3 评论文章

NGC13009：[复变函数] 留数/残数的原理和计算5 赞同 · 1 评论文章

定义:

0. 广义函数

广义函数是一种映射, 比函数的概念更加宽泛. 它传入多个函数, 传出一个函数. 可以理解为”函数的函数”. 广义函数(映射)将一个函数变为另一个函数.

对于这个范畴来说, 卷积, 傅里叶变换, 拉普拉斯变换等, 都算是广义函数. 比如

中的

就算是一个广义函数. 写成如下形式就像是一种映射了.

广义函数像函数一样, 可以存在表达式. 这里放一个指数函数和拉普拉斯变换的表达式, 可以自行对比区别.

注意到, 指数函数是将一个数字变化到另一个数字的函数. 而广义函数将一个函数变化到另一个函数. 使用他两的爹”映射”的表示方式如下

自行查阅更多广义函数的相关内容(定义, 性质等)

单位冲激函数, 记为 $\delta(t)$

这是个奇异函数. 可以理解为在t=0处有一个很大的值, 其他地方函数等于0. 这个函数是数学上的现实简化. 比如弹性碰撞, 打雷时的电流等都是一个持续时间极短, 瞬时值极大, 总能量(相当于积分值)有限的情况. 数学总爱搞极端, 所以就诞生了这个函数. 图象一般这么画

2. 单位阶跃函数, 一般记作 $u(t)$

这个好理解. 就是这个东西

这也是个奇异函数. 注意到单位冲激函数和单位阶跃函数都不是初等函数, 所以直接套用初等函数的定理会出错. 不能想当然.

定理:

单位冲激函数和单位阶跃函数为微积分关系.

2. 任何函数和单位冲激函数的卷积(convolution)等于其自身. (稍后介绍卷积)

更多信息参阅:

ICEY：单位冲激函数和单位阶跃函数笔记总结104 赞同 · 29 评论文章

卷积 (convolution) :

卷积如下定义:

几何意义是, 把其中一个函数对着 x=t轴镜像一下, 然后两个相乘, 从负无穷到正无穷积分, 就是t处的卷积. 对所有t做一次, 就得到了卷积后的新函数. 卷积是一种广义函数, 该函数传入两个不分顺序的函数, 输出一个函数.

卷积是线性时不变变换(LTI变换). 满足线性性质和时不变性质.

线性系统的定义就是满足可加与倍数性质. 对于系统 $H(\cdot)$ ,如果是线性的, 那么

2. 时不变系统表示系统状态不随时间变化, 数学上满足

若 $y(t)=H(x(t))\\$ , 则 $y(t-a)=H\left(x(t-a)\right)\\$

3. 这两条都满足就是LTI系统.

Mathematica中单位冲激函数是”DiracDelta”, 单位阶跃可以使用”UnitStep”. 都支持符号运算. 卷积是”Convolve”. 详情参阅F1帮助文档.

更多信息参考:

如何通俗易懂地解释卷积？1.1 万赞同 · 399 评论回答

1. Fourier Transformers 傅里叶变换定义

定义:

记作 $\begin{aligned}f(t)&\stackrel{FT}{\longrightarrow}F(j\omega)\\F(j\omega)&\stackrel{IFT}{\longrightarrow}f(t)\end{aligned}\\$

其中FT表示Fourier Transformers, IFT表示 Inverse Fourier Transformers , inverse是”逆”..

傅里叶变换将时域(空域)信号转化为频域信号. 傅里叶逆变换将频域信号转化为时域(空域)信号.

这里采用的是信号与系统中常见的傅里叶变换的定义. 应该注意, 并不是所有教材和应用上都采用这个定义. 比如工程常用 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-2\pi j \omega t} d t$ . 尤其应该注意这个定义.

参考Mathematica, Mathematica中的一维傅里叶变换是缺省是 $\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }f(t) e^{j \omega t}dt$ , 而n维傅里叶变换是

非数学专业应该都不用学习n维情况吧?

Mathematica定义傅里叶变换的通用形式是 $\sqrt{\frac{|b|}{(2 \pi)^{1-a}}} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{j b \omega t} dt$ , 其中{a,b} 的某些通用表示形式：{0,1} (缺省：现代物理)，{1,-1} (纯数学；系统工程)， {-1,1} (传统物理)，以及 {0,-2Pi} (信号处理).

如果你想使用Mathematica, 那么我们这里是{a, b}={1, -1}

常用傅里叶变换表格:

当傅里叶变换为信号处理时的变换时, 即

常用的有

2. FT的性质

线性 (liner)

线性系统的定义就是满足可加与倍数性质. 对于系统 $H(\cdot)$ ,如果是线性的, 那么

这个性质可以化简运算.

2. 共轭对称性

图像表示就是, 实数部分相等, 虚数部分相反. 当一个函数f其实部为偶函数，虚部为奇函数时，此函数就为共轭对称函数

举个例子. (u(t)表示单位阶跃函数)

图像:

10 (UnitStep[t] – UnitStep[t – 1])的傅里叶变换的频域图

从实数看上去是偶函数:

从虚数看上去是奇函数

3. 变换对称性

4. 尺度变换性质

放缩 $a$ 倍后, 频域缩小为原来的 $\frac{1}{|a|}$ , 频率升高 $a$ 倍. 这个是显然的. 给时间乘上系数 $a$ , 那么频率自然要升高 $a$ 倍. 可以拿 $sin(ax)$ 试着理解一下. 频域扩展了但是总能量不变, 所以频谱要缩小到原来的 $\frac{1}{|a|}$ . 数学严格证明从略.

5. 时移性质

这条很重要. 因为他可以处理很多时间上的延迟问题.

量子力学中, 这个东西也有直观的物理解释. 这里暂时不讲.

6. 频移性质

时移的对偶定理

7. 卷积定理 (重要!!!!!)

星号表示卷积, 点表示相乘. 大写字母是小写字母的傅里叶变换.

物理解释: 时域信号可以分解成一串不同频率正弦信号的叠加。根据卷积的分配率，两个时域信号的卷积最终可以展开成两两正弦信号的卷积的和。由于不同频率的正弦信号的卷积为0，所以最终只剩下相同频率的正弦信号的卷积。而卷积的结果就是频率不变，幅度相乘。^[1]

数学证明:

设两时域信号 $f(t),g(t)$ ,对于卷积有:

那么其傅氏时频变换为

Q.E.D. ^[2]

8. 微积分性质

所有箭头表示傅里叶变换, 括号指数表示n阶求导. 负值代表积分. 常用的是前两条.

3. Laplace Transformers 拉普拉斯变换

定义:

注意到就是把 $j\omega$ 换成了 $s$ , 因为本来的虚数没了所以逆变换有虚数补偿(红色标出

这里是单边拉普拉斯变换. 双边拉普拉斯变换就是从负无穷开始积分. 一般情况下系统的输入都是从0开始有的(相当于任何函数与u(t)的乘积). 所以这里单边还是双边无所谓. 考虑收敛域范围的话需要注意.

拉普拉斯变换表格:

注意拉普拉斯变换有收敛域概念. 此处和傅里叶变换有区别. 在某些情况下收敛域必须考虑.

对于系统, 如果极点(就是趋于无穷大的奇点)出现在虚轴右半边部分, 那么系统不是稳定系统. (物理意义是系统会出现震荡并且幅度越来越大最后系统完蛋). 如果极点只出现在虚轴左边部分代表系统稳定. 虚轴上只有一阶极点是稳定的(等幅振荡).

4. LT的性质

拉普拉斯变换和傅里叶变换性质基本一致, 可以直接记忆拉普拉斯变换(更常用)

线性
平移性质

3. 尺度变换

4. 微积分

记 $\int_{-\infty}^{t} f(t) d t=f^{(-1)}(t)\\$ , 则有

注意到带颜色部分其实是个常数.

……

这里的结论很有用. 在自动控制原理和信号与系统中求解系统的响应, 甚至是解线性微分方程是非常方便的. 时域求解可能很困难, 设计各种微积分和卷积, 但是频域求解的话就只剩下加法和乘法了. 非常方便. (其实是利用已经计算好的频域表加速运算. 前人已经花费时间计算了各种复杂函数的频域, 我们只要对照或者背过就可以加速运算了. 使用计算机术语叫做花费空间代价来降低时间复杂度. 总的复杂度实际上是不变的.

复变函数学的好的话可以尝试直接拿概念硬算. 我试过, 很慢, 很难.

5. 卷积

注意这里和傅里叶变换有略微区别(红色高亮). 因为傅里叶变换已经是考虑虚数问题的了. 所以S域必须再考虑一次. 仔细思考为什么这里需要除上一个虚数单位?

6. s域平移

7. s域微积分

这几个性质都很有用. 稍后例题.

8. 初值定理/终值定理

这个性质方便判断系统的初始状态和终态 (当时间过了很久后).

5. 因式分解

从小学开始, 因式分解就开始折磨人 (没有被折磨过还是年轻). 可以参考这个

因式分解 – guoshaoyang – 博客园www.cnblogs.com/guoshaoyang/p/10988440.html

一般来说想利用拉普拉斯变换, 必须先将系统函数表示成表格里面有的函数才可以方便的逆变换. 所以总是要拆分分式为有理分式之和. 利用洛朗级数原理可以拆分多项式.

稍后在例题演示.

6. 课后习题

例1. 拆分函数 $f(x)=\frac{1}{x^2-3x-40}$

解: 因式分解.

使用残数定理求解系数

$a=\lim_{x\rightarrow8}\frac{1}{x+5}=\frac{1}{13}\\$ , $b=\lim_{x\rightarrow-5}\frac{1}{x-8}=-\frac{1}{13}\\$

所以展开后 $f(x)=\frac{1}{13}\left(\frac{1}{x-8}-\frac{1}{x+5}\right)\\$

这种化简有什么用呢? 如果这个是s域的话, 那么就可以直接得到时域方程.

从而(通过变换表得知) $h(t)=\frac{1}{13}\left( e^{8t}-e^{-5t} \right)u(t)\\$

例2. 已知 $H(s)=\frac{1}{s^2+1}$ , 求时域波形.

解: 拆分函数. 然后通过性质得到时域波形

对照变换表, 可以验证发现我们的计算正确.

例3. 懒得打字了, 敲latex公式好累. 此刻充分发扬论文引用精神, 拒绝重复造轮子. 摘录一题

凡章：电路分析基础2——线性动态电路的复频域分析20 赞同 · 2 评论文章

这个题来自于这个文章. 如果对解线性电路感兴趣 ↑↑↑↑↑ 可以参考.

[完]

下一篇准备写写z变换, DFT和FFT.

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参考

^为什么说时域卷积为频域乘积，能否通俗的解释？ – 一根儿芦苇的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/29877892/answer/150456142
^为什么说时域卷积为频域乘积，能否通俗的解释？ – DBinary的回答 – 知乎 https://www.zhihu.com/question/29877892/answer/915368892

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