[复变函数] 留数/残数的原理和计算

我现在看着封面上水的波纹的环都像是收敛域……属实魔怔了

NGC13009：[数学] 复变函数复习笔记20 赞同 · 3 评论文章

接上次的笔记, 现在聊一聊复变函数中最有用的一个部分, 就是”留数”. 或者叫做”残数”. 他的英语是 residue.

教科书上大家一般会直接看见它的定义, 长这个样子:

这就是残数的定义. 然而一般人看见这个会问”为什么这个叫残数, 这个东西有什么用, 它是怎么来的?”. 所以接下来, 一起看看残数的来源和用处.

1. 洛朗展开以及残数的引入

我们在之前的笔记中知道了, 任何复数域中的一个函数, 在满足一些条件的时候可以展开为洛朗级数. 这个条件一般是

函数在收敛域中光滑且连续.
函数在收敛域内, 处处 $\frac{1}{2\pi i}\oint_C f(z)dz$ 可积.

这两个条件是屁话. 我们只要知道, 在收敛域中, 函数本身和洛朗级数是完全相等的就可以了. 因为这样我们就可以计算围线积分了.

假如存在函数以及它的展开

那么根据刚才的粗体字, 则有

其中积分曲线 $C$ 是绕展开点 $a$ 的一个围线. 且曲线 $C$ 完全处于第一收敛域内.

其实这里曲线 $C$ 应该是”包含 $a$ 点且内部除了一个可能的极点 $a$ 之外没有其他极点的一个闭合曲线”. 稍后我们会知道闭合曲线的复变积分仅与其包含的极点性质有关. “第一收敛域”指的是从 $a$ 算起向外的第一个收敛域. 比如对于 $f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}$ 在 $z=1$ 处的展开, $|z-1|<1$ 即为第一收敛域. 而 $1<|z-1|<+\infty$ 是第二收敛域.

考虑所有可能的 $n$ , 我们发现当 $n\neq -1$ 时, 积分值恒为0 . 这个结论是显然的. 不信自己试试. 比如对于 $\oint_cc_n (z-a)^3 dz$ 来说, 它没有极点, 积分显然为0 (至于为什么请看之前的那个文章). 对于形如 $\oint_c \frac{c_n}{(z-a)^2}dz$ 这种, 虽然包含极点, 但是它的积分还是0. 动手算一下就知道了.

可是, 当 $n=-1$ 时, 情况发生了变化. 因为此时积分出的原函数是对数函数. 而且我们已经知道对数函数在积一圈分之后并不一定是0. 所以该积分可以化简成

从上个文章中的结论, 可以直接计算出:

注意到了没? 洛朗级数的-1项系数 $c_{-1}$ 很特殊, 它直接决定了绕a积分的值!

所以我们为了实用, 定义 $c_{-1}$ 叫做”残数“. 也就是说残数(residue)定义为

现在我们终于知道了为什么要这么定义了. 至于”残数”的名字的含义, 表示”积分一圈本来是0, 但是这里有一点数给残留下来了, 所以管他叫残数好了”.

2. 残数的最大用处

当然是计算曲线积分啦!

我们已经知道了, 闭合曲线的积分只与包含的极点有关, 而与具体的积分路径无关. 那么就像下面的图演示的一样:

根据上面三张图的道理, 那么使用留数表示的话, 就是 (唉表示的不好, 那个点也叫z了….) $\oint_C f(z)dz=2\pi i\cdot\left(Res(f(z),z=x)+Res(f(z),z=y)+Res(f(z),z=z点)+Res(f(z),z=w)\right)$

3. 怎么计算残数?

叨叨了半天, 如果不能方便的计算残数的话, 那么就白叨叨了.

若 $a$ 为 $f(z)$ 的 $n$ 阶极点, 那么

证明: 因为

所以

取极限有

证毕.

这个结果是显然且易于理解的. 回忆下上文中推导残数的过程, 就可以轻易明白这个过程的原理. 这个式子看着复杂. 但是实际上没有那么复杂! 理解它, 不要去背诵它.
背诵提示: 求导 $n-1$ 次后,when $z\rightarrow a$ 会得到 $c_{-1}\times(n-1)!$ 这个值, 其他项趋于0. 残数就是 $c_{-1}$

2. 若 $a$ 为 $f(z)$ 的 $1$ 阶极点, 那么

第一种基本用不上, 第二个一下就背过了.

第二个最好背诵一下. 考试时反应速度快一点.

3. 若 $f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}, \varphi(z), \psi(z)$ 在 $a$ 点解析且 $\psi(a)=0$ , $\psi^{\prime}(a) \neq 0$ , 那么

第三个没碰见过….

3. 特殊点的残数

存在极限的点的残数是0, 趋于无穷的点的残数也可以通过上面的方式计算. 所以这里的”特殊点”指的是无穷点处的残数.

问: 为什么需要求无穷远点的残数?

答: 为了不计算太多的残数.

比如对于下面这个函数:

求对于围线 $C: |z|=10$ 的正向积分. $\oint_C f(z)dz$

这个函数的积分路径包含5个极点. 拆分该函数并不方便, 求残数的话, 求5个是比较复杂的. 所以我们可以采用新方法.

定义: 无穷远点的残数定义为: 绕着无穷远点的一个除了无穷远点以外不存在极点的正向围线积分的 $\frac{1}{2\pi i}$ . 换而言之, 就是一个以0为圆心的足够大的圆, 它的外面(相对于原点)没有除了∞以外的极点, 那么, 无穷远点的残数就是 $\frac{1}{2\pi i}\oint_{C^-}f(z)dz \space\space\space[C:|z|=\rho,\rho很大]$