为了让本文不至于沦陷到大量的小学级别的枯燥计算中, 在此仅举一个最简单的例子, 如图

电源  ,振幅 1v, 角频率 1 Rad/s, 初相位  ,无直流分量

电阻  , 电感  ,电路为集总电路.^[2]

求:  之后的  函数的样子.

解1:

根据题目由VCR关系式以及KVL列写方程(除电源外方向均为关联方向, 这里电流参考方向为顺时针方向)

由电感的VCR关系

综合得到微分方程

带入数值得到一个具体的方程

数学变换

这是一个一阶线性非齐次微分方程, 高等数学上的解直接背过套用, 得到通解

电路原理告诉我们初始时刻的电感电流必为0^[6],根据这个直接解出来常数的值  ,得到最后的解

 (t>=0)

图像画出来就是这个↓

可以看出来随着时间的推移, 刚开始的初始状态很快衰减到可以忽略不计, 而只剩下”受迫振动”引起的稳定解, 一般情况下我们只考虑这个稳定解的部分, 也就是电路启动足够久后的响应.

为了解放劳动力, 让人类完成更伟大的事业, 而不是浪费时间在天天算数学方程上, 牛逼的人发明了”相量法”, 将本来只能用微分方程的解法升级为了代数运算就能解的方法. 一下子让大家伙轻松了很多. 这样在处理高阶非线性电路时我们也不用继续算五六七阶微分方程了.

解2:相量法

写出电源的相量  ,电感的感抗  (j是虚数单位,为了和i电流不混淆,工程上一般用j而不是数学上的i)

由VCR直接得到方程  ,代入题目的值直接解这个复数方程, 得到

 ,有这个就能写出来响应式子

 (A) (t>=0)

可以发现相量法确实方便多了,但是缺点是不能得知开始不久时的精确解(好在正常人不关心那个)

把电感换成电容的原理一样, 可以试着做一做

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中午了要吃饭, 相量法的原理和具体使用方法后面单独写一篇文章, 先就这

参考

1. 更复杂的电路只不过是更多的方程组, 数学问题不在此着重讨论
2. 集总电路, 就是理想器件组成的理想电路
3. 电压-电流-电阻关系,比如U=IR
4. 基尔霍夫电压定律
5. 关联方向, 指电流参考方向为电压参考方向的由高到低的方向时
6. 电感内的电流在非冲击电压下不可能突变