选择公理一直是一个争议点，我发现很多教科书的证明都默认选择公理成立，这是否有问题？
 - shakeship的回答 -
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少女是数学神教中的一名教徒。她正在学习拓扑学，时常被其中种种美妙的结论所折服。比如说，赋范空间是有限维的当且仅当单位球紧。维度可以被单位球的拓扑性质所描述，多么神奇。

一天，在她看到Tychonoff定理(任意多个紧致空间的乘积是紧致空间）时，突然之间，一阵兴奋和不安传遍她的全身。但她并没有马上弄清楚为什么。

任意多个紧致空间的乘积是紧致空间……任意多个……她的思路仿佛被打开了，向着数学最根基的东西开凿而去。

[-1，1] 在R中是紧的，那么无限多个这样的紧致区间相乘，就得到了紧致的单位方体。可是……无穷维的赋范空间单位球是非紧的！单位球包含在单位方里，而紧致集的子集一定也是紧致的。问题出在哪里呢？

她反复思考着这个paradox，最后，她把怀疑的目光投向了Tychonoff定理。对，关键就在这里，任意多个，而不是有限多个。这个定理就等价于选择公理。少女现在觉得，选择公理有可能是错误的。

选择公理是数学神教教义的基石，是一切的前提。它说的是，设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。简单地说，选择公理是在说，给定任意多个盒子，每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。

少女带着满腹的疑问，找到了数学神教的大主教。他的学识是最高深的，或许只有他能够解答这个问题。少女把上面所述的“无限维赋范空间单位球非紧”“任意多紧致空间乘积为紧致空间”“紧致集的子集是紧致的”这三条之间的必然矛盾讲给了他。

主教在胸口画了个十字，闭眼默默念诵道:“我们在天上的选择公理，我们尊它的名为圣，愿它的国降临，它的旨意行在地上，如在天上。”他睁开眼睛看着少女:“它是正确的。”

“可是……”

“你年龄太小，还不懂箱拓扑和积拓扑的微妙区别……”主教捻着手说。“但是，数学之神圣是不容亵渎的。你质疑选择公理，那就是背叛了数学，背叛了数学神教。你会为此得到惩罚。”

阴影中走出两名教士，他们抓住了少女。她在挣扎过程中，看到墙上刻的一行字:数学即强权。他们把她带到了地牢里，等候发落。

一匹高头大马拉着一辆刑车，由骑警押解，从教堂驶入广场。军警们挥鞭驱赶民众，为刑车开道。几位司法和治安的官员，骑马与刑车并行。

囚车上坐着少女，手臂绑在背后，身边没有教士。她只穿着衬衣，长长的黑发披散在半裸露的胸前和肩上。

透过比乌鸦羽毛还油黑发亮的波浪形秀发，可以看见盘结着一条灰色粗绳索，磨着可怜姑娘的柔弱锁骨，缠绕着她那可爱的脖颈。从窗口观看的人，能望见囚车里她那赤裸的双脚，而她竭力要把腿掩在身下，大概是出于本能吧。

即使到了这耻辱和不幸的绝境，她仍然那么美丽，一双黑色眼睛因面颊消瘦而显得更大，面容苍白，但是纯洁而崇高。

此外，她已深深陷入错愕沉痛中，除了羞耻心之外，一切都任由自然。的确，她的躯体犹如死物，随着囚车的颠簸而跳动。

这工夫，森严可怖的骑队穿过人群，真是欢声四起，怪态百出。一双双愚昧的眼睛盯着她，那里面充满着对数学的狂热，和对独立思考的排斥。但也有很多人看到她如此美丽，又如此颓丧，都深感痛惜，多么希望她能够信仰选择公理。

她能够听到说话声，叫骂声，甚至还有大笑声。听到什么“obviously”“travial”。是啊，选择公理怎么会是错的呢？当然能够选出了。然而他们却忘了，如果要用直觉，那么和选择公理等价的zorn引理和良序原理一眼看上去就像是错的。她的目光无神而散乱，可以看到眼眶里还噙着一颗泪珠，但是滞留不动，仿佛冻结了。